我年轻时在厂里当学徒，食堂一桌坐八个人，有回班长说里头有两个同月同日生的。我当时还笑他扯淡，一年三百六十五天哪有这么巧。后来自己扒拉算盘一算，才晓得这事儿比想的邪乎得多。
关键不在天数多，而在配对的方式。一个人对三百六十五天是线性的，可人跟人两两配成对，对子是人数平方往上翻的。那会儿二十三个人配出两百多对，撞上的机会就悄悄过半了。把式子摆出来，一减三百六十五的阶乘除以（三百六十五减n）的阶乘、再乘三百六十五的n次方，n取二十三大约是百分之五十点七…，到五十个人已经九成七。
其实
其实这可不是书斋里的把戏。如今电脑里存密码用的哈希，靠的正是同一套道理
我当年头回推也愣了，23人过半真邪乎~你那处"再乘365^n"该是除以365^n才对，分母就它哈哈
楼主的班长其实比旁人敏锐，这种事不拿算盘扒一遍谁都觉得是扯淡。我年轻时也总犯这毛病，听人说什么概率高得邪乎，先摇头再自己推，推完就老实了。
哈希不是靠这道理，是怕它。生日攻击就是拿这招找碰撞的。
你这"人数平方"说岔了点——两两配对是组合数 C(n,2)=n(n−1)/2，23人该是253对，按平方算会到529。结论倒不受影响，50.7%这个数站得住。哈希碰撞那段倒是点睛，真实世界真吃这套逻辑。
你班长没扯淡，这事儿我也信了。前年回老家喝表侄的喜酒，一桌坐了十一二口子，席间有人起哄报生日，好家伙，两个姨表兄居然同月同日。当时我就想起你帖里说的这个理，人一多，对子就密，稀罕事反倒成了常事。
那会儿我还不信邪，自己拿纸笔划拉了半宿。后来才咂摸出味来，这世上的巧多半不是真巧，是凑的人、碰的机会够了。你说的电脑存密码那个，听着玄，理儿是一个理儿。
话说回来
日子长着呢，慢慢品。
班长那句"扯淡"把我逗乐了。话说回来我念书时也犯过同样的糊涂，死活不信二十来个人能凑出半对同生日，直到被同学拉着挨个报日子，真就撞上两对。
这事儿最让我出神的地方，是它不动声色地提醒：人和人之间牵连的线，远比想象里密。我们习惯把世界过得很稀疏，可概率从不顺着直觉走。哈希也好，食堂那张饭桌也好，都在这件小事里藏了同一句悄悄话。
厂里八人桌撞生日那段挺有意思。不过你式子少两对括号，该是 1 − 365!/((365−n)!·365ⁿ)，365ⁿ 整个进分母，不然算出来比 1 大。哈希碰撞那段在理。
我年轻那会儿也总觉着"哪能这么巧"。后来日子久了才慢慢明白，人估摸概率全凭自己那点直感，可直感一碰上"两两配对"这种事就靠不住了。那会儿
那会儿
我觉得吧前些年我们楼里办聚会，二十来号人，有人起哄查查生日，结果真凑出两对同月同日生的，满屋子都啧啧称奇。其实按你这算法，本来就该有。可见大伙儿嘴里说的"稀罕事"，多半是自己算错了账。
这世上的巧合，比账面上要多得多喽。
我年轻那会儿也常扒拉算盘，不过算的是月底工分，没往这种巧事上头想。慢慢来你说两两配对翻番那句，我头回听人讲也是直摇头——八个人一桌都能撞上生日？哪能呢。后来自己闷头数了一遍才服气。
说实话
人总觉得三百六十五天摊得开，忘了人是扎堆配对的。这事儿邪乎就邪乎在，直觉靠不住，算盘珠子一拨才见真章。如今小年轻敲键盘比咱们利索百倍，可这股子"觉得不可能、其实早过半"的劲头，倒是一点没变。
最后那句"哈希靠的正是同一套道理"，我想稍微商榷一下方向。
生日悖论确实是哈希碰撞的理论根子，但哈希是"被它盯上"的那一方。按通常说法，一个 b 位输出的哈希，取约 2^(b/2) 个样本就能撞出相同输出，这叫生日攻击。所以 SHA-256 标称 128 位抗碰撞强度，正是用这个 2^(n/2) 的下界往回倒推的，输出位数非得翻倍才稳当。
换句话说，密码学是在"防"生日悖论，不是在"借着"它。楼主若有具体的哈希位数或碰撞数据，不妨贴出来对一对。
你那段式子念出来括号没打清，容易算反。365的n次方得跟阶乘一并落在分母：365!除以[(365减n)的阶乘乘365的n次方]，再拿1去减。要是按字面念成(365!除以(365减n)的阶乘)再去乘365的n次方，结果早甩到1外头去了，一减成负数，跟五成七对不上号。
哈希那句方向是对的，碰撞攻击靠的正是这套。把365天换成哈希值空间，把人换成报文，凑够约根号下空间大小的量级，撞上的机会就过半了。
班长那桌八个人里出一对同生日，概率其实只有大概百分之七，你当年笑他扯淡倒也不算没道理。不过二十三人过半这个拐点确实反直觉，我头回算出来也愣了下。
嗯
式子你摆得没错，n 取 23 约 50.7%，50 人 97%，这个没问题。我想补一句的是最后那段，把生日悖论往「存密码用哈希」上引，类比稍微松了点。
嗯
哈希存密码讲究的是单向性，拿到哈希值反推不出原口令，这跟生日悖论其实是两码事。生日悖论真正在密码学里落脚的地方，是碰撞攻击：与其硬碰硬去撞某个特定原像（得 2^n 量级），攻击者只要找出任意两条消息落进同一个桶，按生日悖论的算法工作量只剩约 2^(n/2)。所以 128 位摘要的抗碰撞强度，实际只当 64 位使。这个「开方级」的陡降，才是和食堂那张桌子同一个脾气。
严格讲，生日悖论不是密码「存储」的原理，而是密码「被攻破」的预算。楼主若想往应用上靠，把话头从存储挪到碰撞上，逻辑就顺了。
说回食堂，你们班长那回到底撞上没？我猜说的是农历生日吧 (^_^)
楼主这帖子有意思，我头回见人拿算盘扒拉出这结果也是半信半疑。不过你那句“365的阶乘除以(365-n)的阶乘、再乘365的n次方”念着容易拧，按字面顺序会变成乘而非除，正经写法该是 1 - 365!/[(365-n)!·365ⁿ]，365ⁿ 是落在分母上的。
“两两配对”的直觉特别好，但要补一句：那253对子并非独立事件，不能拿 253 乘 1/365 去算（那样会得到近七成），真值五成出头，正是阶乘式子把重叠兜了回来。
其实
再补个数据，真实生日分布并不均匀，有些月份扎堆，真要算碰撞概率还会比五成七略高一点点。