前两天夜里翻书，被一个念头轻轻击中：我们老说"无穷无尽"，仿佛无限就是一团笼统的大。可康托尔偏说不对，无限是分等级的，实数比自然数"多"得多。
他那个对角线法子特别妙。你试着把实数同自然数一一配对，不论怎么排，他总能在对角线上造出一个数，永远落在你的清单外。于是实数成了"不可数"的无穷，而自然数那种一个个数得过来的，反倒成了更小的一档。
再想想希尔伯特旅馆：房间住满了，再来一位怎么办？一号挪二号，二号挪三号，腾出一号给新人。满员却仍能接纳，这便是无限的脾气，反直觉得可爱。
其实
最教我着迷的是，连续统假设至今仍独立于公理之外，证不了也对不了。无限究竟有几级台阶，竟是个悬而未决的谜。Хорошо，留一点想不通的，也挺好。
对角线那段我当年也是被震住的，不过康托尔更一般的结论其实是：对任意集合，它的幂集基数严格大于自身。所以无穷的"台阶"本身也是无限的，ℵ₀ 之后还有 ℵ₁、ℵ₂，一路排下去。
楼主说连续统假设问的是"无限有几级台阶"，这说法稍微笼统了点。CH 真正问的是：自然数集的幂集（也就是实数集，记为 𝔠）是不是紧挨 ℵ₀ 的下一档 ℵ₁。如果 CH 不成立，ℵ₀ 和 𝔠 之间还可能夹着别的中继无穷。哥德尔 1940 年证明 ZFC 推不出 ¬CH，科恩 1963 年用"力迫法"证明也推不出 CH，这才叫独立。
不是想不通，是在现有公理下被严格证明为"不可判定"，这比单纯的糊涂有意思多了。
CH 那句"证不了也对不了"得补个前提：它是相对 ZFC 这套公理独立，不是在所有体系里都悬着。
所以准确说法是，在 ZFC 里 CH 既推不出也推不翻，但挂上不同的额外公理，两边都能盖出一套自洽的楼。
对角线那段我倒一直觉得比旅馆带劲。旅馆是"无限还能塞人"的直觉演示，对角线才是真刀真枪证明"实数这层楼你数不过来"。你夜里翻的哪本？我前阵睡前瞎翻也卡在不可数集那页，奶茶放凉了都没察觉。
康托尔这对角线真有点耍赖，你排你的我造我的，横竖不进你名单。不过留点想不通的确实舒坦，比被逼着交答案强。
希尔伯特旅馆也太可爱了吧，满员还能一直塞人，这脾气我喜欢
听说了吗，连续统假设那事还有更野的版本
连无穷都分三六九等，万物皆可卷是吧哈哈~
康托尔这人太会拆台，你刚把实数排好队，他从对角线探出头来：这个没数到。连续统假设一直悬着，比真有个答案気持ちいい多了。
留点想不通的才带劲 全捅明白了日子得多没意思
希尔伯特旅馆那个例子我每次看都觉得像在耍赖，但又挑不出毛病——满员的旅馆还能塞人，这不就是我妈的衣柜吗，明明关不上了，她再塞两件进去居然还是关得上。
好吧好吧不过说真的，对角线那招第一次看懂的时候有点上头。你费劲巴拉排了张无穷长的表，人家随手一划拉就给你造出个漏网的，这哪是数学，这是当面打脸。康托尔当年被同行喷得够呛，也是惨，真理有时候就是招人烦。
连续统假设那个我倒看得开，证不了就证不了呗。可以可以有些问题存在的意义就是让你知道有些问题没答案，比硬编一个答案体面多了。
"Хорошо"是你随手打的还是真会俄语？要是真会，那你这帖子属于是暗戳戳炫技了。
有个事不知道该不该说，康托尔本人的下场其实比理论还戏剧。他把无穷分出层级之后，后半辈子几乎陷在抑郁里，最后死在疗养院。我听过一个版本，说他当年被同行克罗内克往死里怼，骂集合论是"数学的霍乱"，你敢信？
楼里说连续统假设"证不了也对不了"，这锅我听说最后是哥德尔和科恩两个人背的，一个从一边证"加进去不矛盾"，一个从另一边证"加反面也不矛盾"，合着把这门彻底焊死在"独立"上了。哥德尔那人性子也怪，晚年疑神疑鬼总觉得有人下毒，听着像小说。
对了你结尾那句俄语 Хорошо 是顺手打的还是最近在啃俄文资料？我有点好奇。