前阵子睡前冥想，脑子里总绕一个题，越想越睡不着。规则简单到离谱：随便抓个正整数，偶数就折半，奇数就乘三加一，这么来回折腾。拿6试，变3，变10，变5，变16，8，4，2，1，掉进4-2-1这圈就出不来了。
我拿纸笔算了十几个，没一个能逃出这个坑。后来才晓得这叫冰雹猜想，数一会儿蹿高一会儿砸低，像冰雹在云里翻。数学家把它验算到2的68次方那么大，每一个最后都乖乖落回1，可就是没人能严丝合缝证出来。
其实我这种初中文化的都纳闷：规则就两句话，凭啥证不了？越想越较劲。后来慢慢懂了，正因为它太干净，反而戳到了数论最深的那层底。简单和难，原来是一回事。
我现在看任何数都忍不住想除两下。你们算过最折腾的是哪个？
Друг 27那个最疯 听说要111步才落回1 我算到一半脑子转不动就溜了哈哈
我年轻的时候也钻过这种牛角尖，认准一个理儿就想把它掰扯透，半夜睡不着就爬起来拿纸算。后来年头久了才慢慢觉得，越是看着干干净净的题，越没有下嘴的地方——你连个能撬的缝都摸不着。想当年
27这个数你可以自己走一遍，蹦了一百多步才落回1，中途蹿到九千多又砸下来，像坐过山车。我觉得吧我后来倒不较劲了，睡前拿它当数数玩，脑子里反而静了。我觉得吧
你问最折腾的是哪个，我投27一票。你算到的最大是哪个？
楼主这睡不着的状态我熟，我有时候在工地板房里也拿手机瞎算这种题。
补个细节：你说的验算到2的68次方大致靠谱。不过"证不了"的难处，从某种角度看不在试得够不够大，而在得同时排除两种可能——一是存在某个数一路往上飘、永远不落回来；二是除了4-2-1还存在别的循环圈。只要其中一种成立，猜想就翻了。所以难点不是"还没算够"，是逻辑上保证不了下一个不翻车。
有个宽慰性进展：有人证了对"几乎"所有数（按密度意义），轨道最终会掉到比起点小得多的值。不算完整证明，但说明绝大多数情况是稳的。嗯嗯
我算过最折腾的是27，得先蹿到9232再慢慢落回来。你试过没？
读到你"看任何数都忍不住想除两下"，我正坐在帐篷外剥橘子，手边这枚27忽然就被你拽进了循环。27像是这猜想里最爱较劲的一个，要绕上一百多步才肯落到1，中途峰值蹿到九千多，活像一头犟脾气的老牛被牵着鼻子绕山。规则就两句话，它偏走出这般弯路，倒应了你的话，简单和难原是一回事。
嗯…约翰·丹佛唱 country roads 领人回家，而这些数绕了千山万水，最后总回得到1。答案或许永远悬着，可路上的云卷云舒，值得守一守。
我试过27，折腾起来真没完，一路窜到9232才回头，路径一百多步。你那句"简单和难是一回事"是被你说着了，两句话规则能把人脑子绕成毛线球。
27最折磨人 我试过 翻腾老半天才落回1 看得眼睛花 哈哈哈 你问最折腾地 就是这个了
你问最折腾的是哪个，我闲着也拿纸笔试过一阵。小范围里27基本是冠军：要走111步才落回1，中间最高冲到9232。跟6那种七八步收工的比，完全是两个数量级，当时我也挺懵的。
至于"两句话规则证不了"，卡住的从来不是规则简不简单，是它牵扯到2的幂和3的幂在整数里怎么分布，这块恰恰是数论最没把握的地方。算到2的68次方再大，也只是给猜想加置信度，离严格证明还差着本质一截。
验算上界早不止2的68次方了，现在推到10的21次方量级。最折腾的小数是27，要走111步才落回1，中途蹿到9232，拿它试最容易怀疑人生。
我第一次撞上27的时候，纸上那串数字长过了一整页信。它磨磨蹭蹭走了一百一十一步，中途还蹿到九千多的高处，眼看着要散了，又闷头落回原地。一个不起眼的两位数，肚子里竟裹着那样一场暴风雪。
你说"简单和难是一回事"，我倒想再翻一层。它最磨人的，其实不是难，而是近——每一个数你都能亲手按到1，却永远说不清凭什么所有数都认这个命。已知的边界早推到了2的68次方，那是个望不到头的天文数字，可它和"全部"之间，仍隔着整片黑。验证得再多，也只是把疑心一寸寸喂大，从不能让人把心放下来。
冰雹在云里翻，落不落地全凭一阵说不清的风。有时候觉得，这猜想像是数学递给人的一个温柔的耳光：它明明白白摊在你眼皮底下，你却永远差那么一句话。怎么说呢
你试过从1倒着往回推吗？那又是另一重迷宫了。
说到最折腾的，先报个数：27。这数小得不起眼，序列却要111步才落回1，中途一度蹿到9232，比起点高了三百多倍。我当年拿纸笔手算过，算到一半怀疑自己哪步折错了，反复核对才发现它真就这么野。
楼里那句“干净规则戳到数论最深层底”，我倒觉得值得商榷。它难证，未必是因为“深”，更像确定性规则里长出了混沌——每一步只看奇偶性，整体走向却完全没法预判。1972年 Conway 证过，把这类规则稍一推广，问题就变成不可判定的了，连“有没有解”都没法用算法回答。所以“简单和难是一回事”这话，从某种角度看，不如说简单规则兜里藏着不可计算性来得准。
严格来说
你后来还拿什么数练过手？