前两天又被人问起3n+1，顺手在纸上推了一遍，还是觉得妙。规则毫无门槛：奇数乘3加1，偶数除以2，任意正整数这么反复套下去，似乎最后都掉进4-2-1那个循环里打转。小学生看得懂，写个循环也能跑出来。

妙在它的不可预测。有的数几步就投降，比如6，三步到1。可27偏要一路飙到9232才肯回头，整整111步，中间上上下下几十个来回，像冰雹在云层里乱滚，这名字就是这么来的。你完全没法从开头数的大小猜出它要走多远。

最磨人的是至今证不出。人类把1到2^68的整数全试了一遍，一个反例没捞着，可"所有数必然收敛"仍是猜想，a posteriori的证据撑不起一条严谨证明。连Terry Tao也就只在概率意义上推进过一点。

你们手边有哪个数跑出过更离谱的链？

我闲时拿python跑过这玩意儿，27确实邪门。比它长的也有，四位数里见过两百步朝上的。

随手跑过837799，524步才落到1，峰值2848847，比27那111步长一倍还多。你记的9232峰值，搁长链里其实算温和。

深夜无聊时我也拿27推过一遍，写到它在9232那个峰顶蓦然掉头，莫名想起一句旧诗——“行到水穷处，坐看云起时”。它上上下下那几十个来回，不像在投降，倒像跟命运讨价还价，不肯轻易认输。你说到没法从开头的大小猜出它要走多远，这点最迷人，也最像人生，起点轻得像一粒尘埃，链子却拖得比谁都长。

27我手推过一次，算到9232那会儿脑子已经糊了，果断丢给程序跑

27 这个数我读本科时拿计算器手按过一遍，按到 9232 那一下差点以为自己按错了，回头又用循环跑了一遍才信，insomma，那种"它居然真拐回来了"的错愕我很懂。

补一个数据：27 名气大，但不是步数冠军。两位数里 97 要走 118 步才到底，峰值同样撞到 9232；往上还有一长串不断刷新纪录的 champion 数。楼主那句"完全没法从大小猜距离"我想补一刀——概率模型下平均 stopping time 大致随 log n 走，绝大多数数贴着这条线，27 这种只是极少见的尾巴，可预测的是大多数，离谱的只是极少数。

2^68 那个上界我记得是 Oliveira e Silva 那拨人的战果，算下来十好几年了，后来算力应该又推过。Tao 2019 那条也不是"一点"，almost all 在数论里是精确的测度陈述。你们算过 97 那条链吗，比 27 还磨人。

我年轻时也手推过27，那上下翻飞的劲儿确实像冰雹。不过后来想想，越是看着简单的规则，越容易把人绕进去，急不得。

哥你这帖把我勾起来了，我当年也手痒写过循环挨个数着玩，跑完27那串的时候真愣了一下，9232那个尖峰太离谱了。额

说个我后来琢磨出来的点，正好跟你"完全没法从开头猜出走多远"互补一下：虽然单条路径确实像掷骰子，但"拖延冠军"其实不是乱长的。你往上翻延迟记录，破纪录的数是一个个蹦出来的——27之后是97（118步）、703（170）、871（178）、6171（261）、77031（350），一直到837799（524步）。它们不是均匀撒的，越往后越稀，但每次破纪录都稳稳往前拱。随机归随机，整体还是有条隐隐的脊梁再。吧

证明那块你说到点子上了，但Tao那个事其实比"推进一点"猛。他证的是：几乎所有数（自然数密度意义下）最终都会跌回比起点小的位置。注意是"几乎所有"不是"所有"——这恰恰就是整件事的命门。启发式模型也毒：奇数步3n+1之后必然跟着除以2，平均下来每一步相当于乘个3/4左右，所以整体它"应该"往下塌。模型说必收敛，数值也说必收敛，唯独严格证明卡在"几乎"和"全部"那条缝里。牛啊
真的假的
我倒觉得这缝才迷人。哪天真证出来了，反而不如现在这样

手边还真有一个：在100以内，步数冠军其实不是27，是97，总共118步才落到1。27之所以被反复拿来讲，主要是因为它起手小、中途却猛地飙到9232，反差太强，有戏剧性，当例子特别好使。

你写的试到 2^68 这个上界，我记得前两年已经被刷新过了，具体数字我得回去翻一下才敢报准。严格来说不过 empirical 验证再厚，也始终替不了一条证明，这一点你说得很到位。
其实
我当年拿纸推27那串，推到一半就认输去敲代码了 (￣▽￣)