前两天又翻到曼德博那篇老文章，1967年他问了个特朴素的问题：英国海岸线到底多长？结果你拿不同比例尺的地图去量，答案全不一样。地图越精细，量出来的数越大，怎么都不收敛到一个定值。
离谱
这事儿一开始大伙都当成测量误差打发了，其实完全不是。怎么说海岸线局部和整体长得很像，放大之后还是弯弯绕绕，越看越细，专业点说叫self-similar，也就是分形（fractal）。你尺子短一截，那些小海湾小礁石就都给你算进去了，总长度自然一路往上窜。
正经讲，英国海岸线的维数大概落在1.25左右，卡在一条线和一整个面中间，既不全是一维也不算二维。所以「海岸线多少公里」这个问题本身就有点拧巴，你得先说清楚用的是多长的尺。
想起早先在版上也聊过一回自相似，那次是另一个切法。这回就当补一刀。你们谁手痒过想拿分形维数去量点啥的 (´・ω・`)哈哈
顺着你那个1.25的数多嘴一句：曼德博当年是用特定海图估的，换套数据源重测，维数也在1.2上下的区间里挪，本身也是个“看尺子”的量。我前两年还真手痒拿家附近河岸线试过，越量越长，跟你说的一模一样 (´・ω・`)
补充个常被略过的背景。楼主把问题安在曼德博1967年那篇名下，其实"海岸线长度随测量尺度而变"这个现象，Lewis Fry Richardson 早几十年就留意到了，还留过一份各国边界长度的估算记录。曼德博发在 Science 上的《How Long Is the Coast of Britain?》做的是把这类零散观察收拢成分形几何的框架，1.25那个维数也是他文里给出的拟合值。
顺带提一句，1.25是对特定数据、特定尺度段算出来的，并非恒常常数。换段海岸、换种底图，估计值会漂。所以楼主最后那句"得先说清楚用多长的尺"我认同，分形维数本身也得注明测的是哪段、哪个区间才有意义。
你上次聊自相似是另一个什么切法来着？
1.25这个数我记得不同文献给的差挺多，1.2到1.3都有，跟选的区段和算法都有关，不是个定值。
你贴里那句"1.25左右"得加个限定。Mandelbrot 当年用的是 Richardson 整理的西海岸数据，D≈1.25 只是那一截的估计；换成挪威那种峡湾海岸，拟合出来能到 1.5 往上。分形维数根本不是个常量，取决于你挑哪段、在哪个尺度区间做 log(L) 对 log(ε) 的线性拟合。
我以前翻 Richardson 那张原始表还挺触动的，ε 从几百公里缩到几公里，L 就老老实实按幂律往上爬，斜率反过来就是 1
这问题我当年也手痒试过，拿尺子量老家门口那条河汊子的岸线，越量越长，最后干脆放弃了。
你那个1.25我补一句：这数本身也看怎么估，Richardson留下的原始数据散得很，不同算法能差出零点几，所以当个量级看就行，别当精确常数。真要较真，尺子短到岩石颗粒、浪蚀那一档也就到底了，不会真无限往下细分。'不收敛’在道理上成立，落到地上总有个地板。
补充个前情：在Mandelbrot 1967那篇之前，Richardson 五十年代就量过好几个国家边界，发现长度随尺长大致按幂律发散。fractal 这个词是Mandelbrot后来才安上去的。所以"量出来不收敛"这个现象不算他头一个注意到，框架才是他搭起来的。
退潮后礁石缝里又露一圈湿痕，你量得越细，海越不肯说完。坦白讲像段没写完的赋格，倒也动人。
1.25这个数各家量出来差得不少，挪威海岸能到1.52。尺子多短、从哪段算起，结果都飘。
手痒过的人+1。去年拿手机步数贴着我们小区外侧走一圈，再贴着楼根儿抄近道走一圈，俩数差出去快两百米，当时就拍大腿想起这茬了。所以"尺子越短越长"在生活里也硬核成立，省路和省距离根本是两码事。c’est fou 真的。版上那回自相似我记得瞄过一眼，这回算补上了。以后谁再问我"这条路多长"，我先把尺递过去：你这把多长？
楼主这句"尺子短一截，总长度自然一路往上窜"，我想补一刀的是这个"一路"——它其实是有尽头的，只是尽头比我们直觉想的远得多。
Mandelbrot 那篇 1967 年 Science 上的文章（How Long Is the Coast of Britain?）真正想说的，是 Richardson 早先留下的数据在双对数图上排成了一条近似直线：log(长度) 对 log(尺子边长) 的斜率是负的，取个绝对值就是分形维数 D。英国那条线算出来 D≈1.25，这是靠"在一段尺度区间内保持自相似"才成立的结果。
容易被略过的一点：这个线性区间是有上下界的。往大了说，尺子长到几千公里，你量出来的就是几个大弧段，谈不上弯绕；往小了说，尺子短到岩石、砂砾乃至分子尺度，海岸线就不再"局部像整体"了——海边石头褶皱的纹理跟国境线级别的弯法不是一回事。真到了那个尺度，长度不会真发散到无穷，地理上的岸线终究是个有限值。分形模型只是在我们日常碰得到的那一二十个数量级里好用。
补个数据：Richardson 当年顺手量了几个国家，挪威、澳大利亚这些岸线曲折程度不同的地方，D 值跟着变，挪威明显更"皱"一些。所以原帖说的 1.25 不是天经地义的常数，跟你手头那张地图到底画到多细、用的是哪套测绘数据都有关。
嗯
你问谁手痒想拿分形维数量点啥
读完这个，脑子里一直转着那个画面：你以为自己在量一条线，其实你一直在走近它，越走越近，近到沙粒上的纹路还在弯。曼德博那篇我很多年前翻过，当时只觉得头皮发麻，不是因为数学，是因为它把我们假装确定的事轻轻掀开了——原来"长度"这种东西，是握着尺子的那只手给的，你俯身多少，世界就还你多少。嗯…
1.25维这句话真叫人又安心又不安。卡在一条线和一整个面中间，不上不下，既不全是一维也不算二维。人活着的许多时刻，不也悬在这种缝里么。
你说谁手痒过想拿分形维数去量点什么——我痒过。下雨天蹲在窗边，量顺着玻璃往下爬的水痕，当然是闹着玩，可那种"越看越多、越看越细"的贪婪，een beetje像舍不得把眼睛从什么东西上移开，怎么都看不够。