前几天翻到曼德博六七年那个老问题，忽然觉得挺迷人。英国的海岸线，到底有多长？其实

答案竟是：看你用多长的尺子。拿粗笔在地图上勾一道，和拿着皮尺沿每一粒砂石走，出来的数字天差地别。尺子越小，能抠进的弯弯绕绕越多，量出来的长度反而越长，而且它不收敛，并没有一个"真正的长度"在等我们。

这才知道，海岸线不是一根规整的一维线。它处处自相似，海湾里套着小海湾，褶皱里还藏着褶皱，细节无穷地嵌套下去。这种东西得用分数维度去量，英国海岸大约是一点二五维，整数维度在它面前一下子失效了。

更妙的是，云、山脉、河网都这么长，连星空深处星系的分布，似乎也守着同一套分形规矩。数学和天文，竟被一根没有尽头的海岸线悄悄系在了一起。C’est la vie，尺子再细，世界的褶皱也量不完。

楼主最后那句C’est la vie把我戳中了 世界的褶皱量不完 浪漫也没法量吧

读完这篇我愣了一下，原来海岸线根本没有一个数等在那里啊。我以前一直以为数学给的都是准准的答案，这个结果反而让我松了口气——好像在说，有些东西本来就不必被量完。

这让我想到学中文，越抠细节越发现弯弯绕绕没完，语法里套着语法，跟楼主说的褶皱里藏褶皱一模一样。所以大概正因为量不完，才一直有东西可看吧。

谢谢分享，看得我心情很好：）

尺子越细越长这事儿反直觉得有点上头 看完直接去搜了一堆分形图根本停不下来

盯着你写的"英国海岸大约一点二五维"那句看了好一会儿我印象里这个数特别虚，不同人量出来能差出一截。

曼德博当年翻的是理查德森留下的老数据——这人本来搞测量和气象，顺手记了一堆各国海岸线在不同比例尺下的长度，曼德博才拿它算出分形维度那个概念。但后来有人重测，说西海岸那些峡湾一多，维度能飘到一三往上，东海岸平整些就低。所以"一点二五"更像被反复引用的平均值，真较真的话得先说清你量哪段、用什么分辨率。尺子短到一定程度，那些弯儿到底算不算"海岸"本身都成了定义问题，对吧。
好家伙哦
你最后那句星空我更想多嘴两句。星系分布守不守分形，天文圈其实没少吵。九零年代皮埃特罗内罗那个意大利组，死活说宇宙大尺度上就是分形的，一直分到两三百兆秒差距都没见均匀。对面说你采样不够深，再往外看就平了。两边互相拍了快二十年。所以"星空也守同一套管规矩"听着浪漫，严格说学界到现在没完全拍板。
话说
不过也正是这种"量不完"才迷人。尺子越细褶皱越多，永远差那么一点到不了头。

补充一个尺度上限的视角。分形这套东西在海岸线上漂亮，但它不是没边界地一直嵌套下去。

先把D=1.25这个事说准：那是Mandelbrot拿Richardson早年数据回推出来的，用的还是盒维数（box-counting）那套。不同人用不同断面、不同海域，算出来在1.2到1.3之间浮动，别把它当绝对值。

真正想聊的是下限。帖子里说"尺子越小量越长、不收敛"，数学上成立，但物理上到某个尺度就停了。你不会真去量一粒石英砂表面那几纳米的起伏。海岸线在经典物理尺度下有个实际下限，过了这个点"长度发散"就不成立了。所以"没有真正的长度"更准确的说法是：在关心的尺度区间内没有唯一长度，不是宇宙级的无解。

星系那条也值得加个注脚。简单说宇宙大尺度结构在100 Mpc（约3亿光年）以下确实呈现分形团簇，但再往大到约200 Mpc以上，物质分布就趋近平坦均匀了，分形规律在那儿断了。所以"星空守着同一套分形规矩"没错，只是它也有天花板。

倒是有个更实在的例子：美国官方海岸线长度，NOAA和CIA给的数能差出一倍多，根因就是测量尺子（也就是纳入的曲折程度）不同。这比英国那个数字更能让人直观摸到"尺子决定长度"的劲儿。

想当年我头回背着包钻那条山溪，地图标着不过两三里，真踩着石头跳过去，一个下午都没绕出来。那会儿还较劲，觉得准是地图印错了。后来才慢慢咂摸出味儿，跟你说的这条海岸线是一个理儿，有些东西它压根不给你一个准数。细究下去没个头，可偏偏是这点没头，才让人乐意一再去。

读着读着就想起小时候拿放大镜趴墙上盯裂纹，越凑越近纹路越多，总觉得怎么看也看不完。跟你说的海岸线一个道理，越认真量，世界越往深处藏。这种量不完，反而让人觉得踏实。

英国海岸不收敛，我深夜抽卡也不收敛，越抠越空。世界和钱包共用一套分形规矩 (´・ω・)

我那俩猫蜷一块儿睡 弯绕得比海岸线还邪乎 拿尺子量出来怕也是个分数维 (￣▽￣)

量不完才好 全量完了日子多没劲

数学家兜这么大一个圈子，最后不就是想说“有些东西天生量不干净”嘛，这倒给我那套佛系找到了数学背书。说真的，整数维度在弯弯绕绕面前翻车还挺好玩，1.25维这个小数反而比整数诚实。下次甲方要我改第四十八稿，我就回他：您要的精确答案，取决于今天拿多长的尺子（대박）。