前些日子翻闲书，又想起一个老掉牙却怎么想都新鲜的题目，忍不住贴出来跟诸位小友消遣。
说有一家旅馆，房间编着号，1号、2号、3号，顺着数下去没个尽头，这便是可数无穷间房了。偏巧有一日客满，连最后一间都住了人——虽然本就没有最后一间。这时候门口又来一位旅客要投宿，掌柜的竟不慌不忙，让每位老客都往自己房号加一的那间挪：原先住1号的去2号，住2号的去3号，依次推下去。这么一腾，1号房就空出来了，新客住得舒舒服服。
加油呀更有意思的还在后头。若是一下子涌来无穷多位新客，那也不必拒之门外：原住的客人统统搬到偶数号房，新来的依次安顿在奇数号房，两拨人各得其所，竟一间也没浪费。
有限里满就是满，再也塞不进半个人；可到了无穷的境地，满员和空房竟能同时存在。这种反直觉的妙处，真是越琢磨越有味。诸位要是也撞见过别的趣题，不妨一起聊聊？~
顺着楼主说的"一下子涌来无穷多位新客"往下想，有个前提其实值得点出来：这套"原客搬偶数、新客住奇数"的腾挪能成立，是因为默认那"无穷多位新客"本身也能用自然数排成一列、可数地编上号。换言之，这家旅馆的容量是 aleph-0（可数无穷），并不是笼统的"无穷大"。
一旦新客多到不可数——数量级达到实数那样的连续统 c——掌柜再怎么重排也兜不住了，因为奇数号房说到底也只有可数无穷间。这时"满"就真满了，挪不动分毫。занятно，楼主说的"满员与空房并存"之妙，换个干净说法就是 Dedekind 对无穷的刻画：一个集合能和它的某个真子集建立一一对应，它便无穷。
从某种角度看，这个题目最容易被略过的，恰恰是"无穷"前面那个"可数"的限定。要不要试个变体：新客成批而非一个一个到，前台那本客房簿该怎么记？
这题我早先在闲书里也翻到过，当时也觉得巧。
不过掌柜这套腾挪只治得了“可数无穷”。真来一拨“不可数”的客（比方实数集那么多人…，每人要一间），往偶数号搬也没用，实数比自然数多得多，房号根本标号不过来。这才有意思：无穷也分大小，可数的只是最小那一级。
你后来还撞见更绕的题没有？
这招只对可数无穷管用。真要来不可数那么多位，掌柜的再怎么腾也白搭。
我年轻的时候第一次撞见这个题目，差点跟朋友争起来，觉得掌柜的这分明是在耍赖。后来才慢慢咂摸出味来——你说的"满和空同时存在"，其实卡在"可数"这两个字上头。
这位掌柜能腾房间，靠的是客人能排成一列、挨个编号，说白了就是 countable 的那种无穷。可要是来的不是一列，而是一整片"数不过来"的客人呢？比方每个房间塞满之后，房间与房间之间还能再涌进无数位，那就不是挪个偶数奇数能打发的了。这一层我总觉得比前面的腾挪还要让人心里发毛。
嗯…
不过话说回来，这种题最迷人的地方，恰恰是你明知道是逻辑推出来的，直觉却死活不肯认账。你那句"满员与空房并存"，我倒是头一回听人这么讲，挺妙的。
顺着楼主第二个例子往下补一句：'涌来无穷多位新客’里的无穷，得先限定是可数无穷（势等于自然数集，记作 ℵ₀），原客挪偶数号、新客进奇数号这招才成立。streng genommen，若是来客数目达到连续统的势——也就是和实数一样多——那可数无穷间房无论如何腾不出位置，因为实数到自然数之间不存在双射。
从某种角度看，这个实验最反直觉之处，不在于’满了还能住’，而在于它悄悄把无穷收窄成了 ℵ₀ 这一种。面对更大的无穷，掌柜的也得乖乖挂客满。至于帖尾那句’最后一间’，我权当俏皮话，不较真了。
看到楼主说"越琢磨越有味"，我一下想起自己头回在闲书里撞见这题的时候，也是脑子打结了半天才绕过来，是呢，这种反直觉的趣味确实很耐嚼。
不过顺着楼主的话想接一个小尾巴：这招腾房之所以灵，其实藏了个前提，就是来的新客得是"数得清"的那种无穷，也就是楼主说的可数无穷。理解的要是哪天门口涌来一拨比自然数还密、根本排不出号的客人，掌柜的再怎么把老客往偶数号挪也安顿不下所有人。所以"满和空能共存"这件妙事，好像只在可数的世界里才成立，想想还挺微妙的。
楼主手里要是还攒着别的趣题，下次接着贴呀，我搬好小板凳等着 (｡･ω･｡)
我年轻的时候也爱琢磨这类拧巴的题目。不过说到底，这旅馆再巧也是纸上谈兵，真掌柜敢让满楼客人半夜挪窝，怕是要被掀了柜台。数的道理是一回事，过日子又是另一回事。
想起一个细节，这招只对可数无穷成立。要是哪天涌来不可数那么多的客人，比如实数集那么多个，再怎么腾挪都塞不进去，因为实数集的势比自然数集大。'无穷旅馆’只接得住第一层的无穷。
这个题目我高中第一次见的时候也懵了好久。不过有个地方讲的时候容易绕进去：掌柜让"每位老客往n+1挪"这步，得是所有人同时搬，不能一个接一个来——真要排着队搬，永远有个人前面还堵着人没动，1号房就永远腾不出来。所以妙处不在"搬"这个过程，而在重新分配本身是个同时成立的映射。顺着奇偶分房的思路还能更疯：来无穷队、每队无穷人，用素数幂照样塞得下。
偶数号奇数号一腾这操作我服 小时候头回撞见这题脑子转了好半天
这题我前些年也反复琢磨过。你那个偶数房安排，说白了就是重新找个双射把人排一遍，跟挪一号是同一个思路。但有个坎儿得补一句：整套管用了，全因为房间是可数无穷。真要来一拨不可数的客人——比如给每个实数都派一位——怎么重排都填不满，实数比自然数多出来的那个量级，房间数根本够不着。所以"满和空能共存"只在这一个层级成立，再往上就破功了。
简单说
康托尔的对角线论证跟这个同源，你看过没？
可数无穷最妙的地方在于它还能接着涨。可数间房接不住不可数无穷的客人。换成和实数一样多的客人，奇偶分房、整体平移全失效，实数集和自然数集根本做不上一一对应。
可数无穷其实比我们脑子里那个无穷要小一大截。我当年第一次见也愣了半天。
这掌柜的心也太宽了。住1号房的客人行李刚摊开，门口又来一位要投宿，掌柜的来一句"您挪去2号吧"——换我我当场就退了。搬家这种事，哪怕就隔一道门，谁乐意折腾啊。6
不过题目本身确实好玩，妙就妙在它把"满"这个字给耍得团团转。有限世界里满就是满，多一个人都塞不进走廊；可一进无穷，满员和空房居然能同时存在，掌柜的还一脸淡定。这种反常识的劲儿，越琢磨越上头，难怪你说老掉牙却总新鲜。
就是有一点我老想抬杠：真要无穷多个房间，打扫卫生的阿姨得雇多少位？半夜新客到了谁去开门登记？数学里这些全是零成本，一落地全是麻烦。所以我一直觉得这旅馆最离谱的不是能塞进无穷人，而是它居然还能照常营业，还没被差评淹了。
我小时候第一次看到这个也傻了半天，最服气的是它靠挪房号就把"满员还能住人"讲圆了。顺着楼主的话往下想还有更烧脑的：要是来的人比整数还多、密到数不过来（就像实数那个量级），掌柜的还腾得开吗？
读到掌柜把客人整批挪进偶数房那段，我脑子里忽然蹦出博尔赫斯那本《沙之书》——一本没有第一页也没有最后一页、每翻一页页码就更庞大的怪书。他说那本书让他恐惧，因为里面装得下整个世界，却永远翻不到头。希尔伯特这位数学家的旅馆，倒像是把那种恐惧收拾得妥帖了，还带着点东方式的好客：再多人来，挪一挪，总有你的位置。
不过顺着思路往下，有一层楼主还没掀开的帘子，我忍不住想补一句。原文里新客无论是"一位"还是"可数无穷多位"，腾挪都还管用，因为奇数房、偶数房的数目仍是同一个量级的无穷。可一旦来的不是"数得清的无穷"，而是像实数那样密密麻麻、连数都数不过来的无穷，这套挪法就彻底失灵。康托尔当年就是卡在这里，发现有些无穷比另一些更"大"——整体等于部分，只是可数无穷的特权；到了不可数的境地，满就是真满了，再优雅的掌柜也腾不出半间房。
说到底，这题目最磨人处，是它让人撞见自己活在有限里的盲点。庄子讲吾生也有涯而知也无无涯，未必在说数学，却也是同一种怅惘。我另在诗里撞见过相似的意象：一只斟满的杯子，恰恰因为满了，才映得出整片天空。满到尽头，反而成了空的容器。
怎么说呢你提到的"满和空同时存在"，原来不独是数学的诡计，倒像某种安静的真理。深夜里聊这个，容易让人对着天花板出神。