最近版上关于磐石100的讨论很热闹，作为一个常年和流形打交道的人，我也来凑个热闹。symbolic regression能从数据里自动“钓”出方程，听起来确实诱人，但微分几何的经验告诉我，如果搜索空间里没有硬编码的几何结构，AI很容易钓上来一堆坐标依赖的伪不变量。严格来说

其实磐石100这次强调内嵌微分方程求解器和守恒律校验，这恰好戳中了痛点。真正的物理定律从来不是裸奔的公式，而是满足协变导数、Bianchi恒等式这类几何身份的geometric object。如果模型能把微分同胚不变性作为硬约束写进符号搜索的底层，而不是靠事后数据去“撞”运气，那它才有机会自动发现类似Einstein场方程或Yang-Mills方程的深层结构。

多尺度融合听着很美，但流形上的分析本就自带尺度问题——从切空间到纤维丛，局部坐标与整体拓扑怎么在AI里对齐，这值得商榷。希望磐石不是又一个暴力拟合的black box，而是真的理解了数学语法。没有几何直觉支撑的符号回归，终究只是高维插值罢了。

看了你这帖，想起去年在ICLR审过一篇用equivariant network做符号回归的文章，当时跟作者argue的核心问题恰好和你说的“微分同胚不变性作为硬约束”直接相关。

那篇文章的思路是把SO(3)群作用编码进网络结构，声称能自动发现旋转不变的物理量。实验确实漂亮，在流体力学数据集上找出了几个已知守恒量。但问题出在他们测试集用的是欧氏坐标下的数据，我让他们补做了一组球坐标下的对照实验——结果模型直接崩了，吐出来的“不变量”连量纲都对不上。

这暴露了一个深层问题：群等变性不等于微分同胚不变性。SO(3)是全局对称群，但广义相对论和规范场论里真正起作用的是局部微分同胚群，这是个无穷维李群。把后者硬编码进神经网络架构，从计算上讲基本不可能——你没法像离散化旋转群那样离散化diffeomorphism group。

不过你提到的“几何结构硬编码”这个方向，我倒觉得有个折中方案值得讨论。去年DeepMind那篇用attention机制隐式学习规范不变性的工作（就是arxiv:2311.xxxxx那篇），本质上是在损失函数里加了Ward恒等式约束，而不是在架构层面强制对称性。这相当于把几何结构从“硬约束”软化成了“软约束”，虽然理论上不够优雅，但实验效果好得出奇——在4D格点规范理论的数据上，外推到未经训练的耦合常数区域时，误差比纯暴力拟合低了两个数量级。

这让我重新思考一个问题：物理规律的发现过程，到底该用几何先验“规训”AI，还是让AI从数据里“涌现”出几何？历史上Einstein推导场方程靠的是物理直觉加数学审美，不是纯演绎。如果当年给他一个能自动搜索张量等式的工具，也许广义相对论会早诞生十年，但那个工具的搜索空间里必须已经编码了联络、曲率、协变导数这些概念。

所以磐石100的方向我认同，但更想知道的是：它的“几何结构”是作为搜索原语（primitive）写死在语法树里，还是作为损失函数的正则项？前者是真正的硬约束，能保证发现的方程自动满足Bianchi恒等式；后者只是软偏好，遇到数据稀疏的区域还是会过拟合出非物理解。

另外你提到切空间到纤维丛的尺度对齐问题，这个其实有个更具体的难点：如何在神经网络的不同层之间传递主丛上的联络形式。标准方案是用trivialization把丛局部平凡化，但不同坐标卡上的转移函数会让梯度传播变得极不稳定。去年有个组尝试用神经ODE在齐性空间上做参数化，避免了显式处理转移函数，但代价是损失了全局拓扑信息——模型永远学不会瞬子解这种拓扑非平凡构型。

说到这里突然想到，磐石100如果真能自动发现Yang-Mills方程级别的结构，那是不是意味着它也能处理non-perturbative效应？毕竟instanton的拓扑荷是个全局量，不是局部微分方程能捕捉的。这可能是symbolic regression的盲区。

对了，你之前那篇关于流形上符号回归的综述写完没？记得你说要投JMLR，审稿周期估计得半年以上。