前些日子跟几个年轻后生在茶馆唠嗑，有个娃娃拿"三扇门"的题来考我。节目里三扇门后头一扇停车、两扇空，你先挑一扇，主持人（他门儿清哪扇有车）必定掀开一扇空的，这时候问你换不换剩下那扇。那会儿好多人直觉觉得换不换都一半一半。

这事吧我咂了口茶跟他讲，换门赢面能从三分之一蹦到三分之二。你想，头回选那扇命中率本来就是三分之一，另两扇合起来占着三分之二的彩头。主持人开的空门，不过是把那两扇里"没中"的部分剔掉，车要是在那两扇里，就全落到没开的那扇上头了，所以那扇门，是把另两扇的概率"继承"过去了。

娃娃还不服。我让他把门放大到一百扇：你选一扇，主持人哗啦开掉九十八扇空的，就剩你那扇和他留的一扇。这时候你品品，你随手蒙的那扇，跟人家从九十九扇里替你筛出来的那扇，哪个更可能是车？那会儿他当时就乐了。有一说一

数学这玩意儿，常跟人的直觉拧着来。

补充个前提：结论成立靠主持人"明知故开"空门。若他随机开且恰为空，换否便真是五五开了。

这题我前阵子也跟人争过。你讲得通透，不过补一句：2/3成立的前提是主持人"被规则锁死"——必开、必开空门、必问换不换。这三条少一条，结论就飘。其实

最常被绕进去的是"主持人随机开"那种变体：他碰巧掀了空门，你等于白捡了信息，换不换才真接近五五开。所以关键不在"两扇并一扇"的直觉，是主持人的动作被条件约束住了，那2/3才稳稳传到剩下那扇上。一百扇那个比方确实好使，一下就把弯绕直了。

这个"继承概率"的说法很形象，不过我想补一个容易踩坑的前提。

换门能稳拿三分之二，依靠的不是"门变少了"这件事本身，而是主持人"门儿清且必定开空门"这个被严格约束的行为。你帖子里点到了主持人门儿清，但没展开——这点恰恰是逻辑成立的关键。可以反着想：假如主持人并不知道车在哪儿，他随手开一扇，碰巧撞上一扇空的（这种情况本身占2/3），这时候你换不换？答案是各一半。因为主持人这一下"开空"纯属随机，没往你脑子里喂任何信息，你最初那扇的1/3和剩下那扇的1/3就平摊了。

差别就在这儿：主持人的"知情+必开空"是一次有信息量的动作，它替你排除了另一扇空门，却从没动过你手里那扇的命中率。所以更准确地说，那是条件概率的结果——P(车在另两扇 | 主持人开了某扇空) 这个条件把权重全压到了没开的那扇上。

我前阵子还看到一个变体：主持人开空门时，若你起初就选中了车，他偏爱开左门的概率是 p，那换门胜率会收敛到 1/(1+p)。可见光"必须开空"还不够，主持人开法有没有偏向，也会 tweak 那个数字。

回头说那一百扇：娃娃乐了，是因为他终于看清"筛选"本身值钱。主持人替你从九十九扇里剔掉九十八扇渣，留的那扇承载的正是被筛掉的概率质量。这个画面比公式好懂太多。

这个题我当年也跟人争过，最后靠把三种情况列出来才让对方服气。

嗯楼主"另两扇合起来占三分之二"方向没错，但我想补一个容易被略过的条件：换门能赢到三分之二，得建立在主持人动作是"死规矩"上——不论你首回蒙中没蒙中，他都必然开一扇空的、绝不碰你那扇、开完必问你换。协议一变，数字就跟着变。比如主持人只在你首回选中车时才开空门诱你换，那你换反而输。所以关键不在"换"这个动作，而在主持人行为跟你首择之间的相关性。

穷举最清爽：车在A、B、C各占三分之一，你固定选A。车在A，主持开B或C，换则输；车在B，主持只能开C，换则赢；车在C，主持只能开B，换则赢。三局换赢两局，即三分之二。这正用上了"主持人门儿清"——他不是随便开的，是带着信息开的。

一百扇门那个比方我嫌不够狠，换成一百万扇，你蒙一扇、他开掉其余九十九万九千九百九十八扇空的，剩下那扇几乎必定是车，直觉一下就通了。

这2/3能成立，前提是主持人事先知道车在哪、必开空门。若他随手开、碰巧开到空门，换不换就各半了。

头回撞见这题是在旧书摊，当时也笃定换不换一个样。那一百扇门的比方最妙，把人的那点倔强照得透亮：我们总把自己的随手一指当成天意。直觉有时比算术更固执，也好看些。

这道题里最容易被跳过的一桩，是那"三分之二"得有前提撑着。前提就一条：主持人既"门儿清"，又"不论你初选对不对，必定给你掀扇空门"。这俩条件但凡缺一个，结论就走样。

举个反例。假如主持人自己也不知车在哪儿，随手给你掀一扇，偏巧是空的，这时候换不换都只有一半。原因好算：你初选对的概率是三分之一，此时另两扇皆空，他怎么开都是空；车在另两扇时各三分之一，可他有一半几率直接把车那扇掀开，那种局你看不到，被剔掉了。把"他恰好开到空门"的局单独拎出来，你初选对和错正好各半。可见"主持人知情且必开空门"才是三分之二的命门，跟门多门少不相干。

原文说剩那扇"继承"了另两扇的概率，这说法我顶赞成。补一句：你初选那扇的概率其实从头到尾没动过，一直钉在三分之一上，主持人开的门给不了你那扇任何新情报。动的是另外两扇，它们那三分之二被挤到唯一没开的那扇上。所以"换"不是捡便宜，是接手本来属于那一组的彩头。

跟人争这个最省事的办法，是写个几十行小程序跑一万局，换门一组稳稳落在六千六七。嘴皮子掰不过直觉时，让数说话最管用。你那一百扇的比方，拿去堵不服的娃娃，比公式好使多了。

我年轻那会儿头回撞见这题，也是拧着不信，觉着换不换横竖是二选一，凭什么能多一倍。后来一个教书的老友跟我较真，说你别空想，拿三张扑克比划比划。抽一张当车，余下两张空，他替我掀一张空的，我换的那张连着中了好几回，这下才服气。话说回来

这题最绕人的，是人都把主持人当瞎蒙的。他要是也随手开门，换不换自然没差。可他门儿清哪扇有车，开的永远是空的，信息就这么悄悄塞进去了。你那扇是蒙的，人家留的那扇是替你筛过的，能是一回事么。楼里那娃娃能当场乐出来，算是开窍早的…，我见过争了半宿还梗着脖子说数学家算错的……

这题我早年也跟人掰扯过，卡壳的人大多漏了一条：主持人的开门规则到底咋定的。

你说换门赢面从1/3蹦到2/3，这个数成立得有个前提——主持人不管你首轮选没选中车，都必定掀开一扇空的。本质上这是个conditional probability的事。规则一旦改一改，比如"只有你首轮选中车时主持人才开门劝你换"，那换门直接把赢面从1/3跌到0，比死守还惨。

所以那娃娃真要较真"凭啥另两扇的概率能并到剩那扇上"，根子就在主持人这个动作是deterministic的——他替你把那2/3里的空门定点剔掉，车若在另两扇里就全落进剩的那扇。标准设定下我对你结论没意见，只是觉得把"主持人必开门"这条明摆出来，比一百扇门的比喻更能堵住杠精的嘴。

读到那一百扇门的地方，我忽然想起好多年前在阿姆斯特丹，一个朋友拿硬币跟我打赌，也是这种"明明眼睛看了，toch 还是不肯信"的劲儿。

人好像天生就愿意相信"眼前摊开的才是全部"。你挑的那扇没动过，主持人掀开的也的确是空的，于是脑子就哄自己说剩下的两扇平摊了对半分。可概率这东西从不看你手心里攥着什么，它只管在看不见的地方悄悄挪了位置。有些事你以为自己一直握着答案，其实被选中的那一刻起，赢面早被别人替你筛过了。

那娃娃后来乐了，我也跟着嘴角弯了弯。能被一个数字轻轻推翻一次直觉，倒比永远觉得自己没错要轻快些。

补充个常被忽略的前提：2/3这个结果死死卡在"主持人明知故开、且永远开空门"上。若他是随机撞开门、碰巧开到空门，那换不换才真五五开。很多人直觉翻车，就是把两种protocol混一块了。