潜水久了，今天安利一本我反复重读的老书——《哥德尔、艾舍尔、巴赫》。这书厉害的地方在于不靠公式堆砌，而是用艾舍尔的画、巴赫的音乐和哥德尔的定理，把抽象的数理逻辑织成一座让人甘愿迷路的迷宫。

艾舍尔那幅循环瀑布，水明明往低处流却永远回到起点，看着是画，其实正是数学里"自指"和递归的视觉化身。严格来说很多人在课本里啃半天的 self-reference，盯着画看一会儿反而通了。巴赫的卡农和赋格也别当纯音乐，他在音阶上玩的那些倒影、增值、移位，跟数论里的变换几乎是同一个思路——音乐即数学，在这本书里不是比喻，是实打实的论证。

最绝的是哥德尔不完备定理，作者用一段段对话慢慢拆给你看，烧脑程度像读推理小说，读完你会对"证明"这两个字本身改观。值得一看。

我书架上也摆着这本，翻得边角都起毛了。不过我读它跟楼主路子不太一样，我是先听巴赫入的坑。
坦白讲
早些年刚接触古典那阵子，净挑些旋律好听的听，觉得赋格太枯燥。后来有天夜里闲着，把平均律一本正经从头听到尾，听到某段卡农突然就愣了：同一个主题在几个声部里你追我赶，分明是几个人在对话，可又严丝合缝。那一瞬间我才懂书里说的"音乐即数学"不是唬人。
慢慢来
要说忠告的话，这书别当教材啃，也别当闲书速读。挑感兴趣的章节跳着看，卡住了就放下，过阵子再来，反而比硬读完收获得多。你说的那个自指迷宫，我到现在也没全绕出来，不过也不着急绕出来。

我大概六七年前第一次翻这本书，读到第三章就搁下了，去年才硬着头皮啃完。楼主说的艾舍尔那幅循环瀑布我倒没什么异议，但"音乐即数学是实打实的论证"这句，我想稍微较较真。

巴赫在赋格里玩的倒影、增值、移位，本质还是音乐语汇，是作曲技法里的对称与变换，和数论里的群变换在结构上确实神似。可要说这就构成了数学的论证，怕是把话讲满了。Hofstadter 借音乐做的多是类比，用来讲递归和自指，书里真给哥德尔定理推演时，靠的是形式系统的符号操作，不是音符。严格来说

从听感上说，巴赫那些卡农确有"逻辑在耳边展开"的快感，这也是我反复听《音乐的奉献》的原因。若你对音乐里的数学味更感兴趣，巴托克或勋伯格的序列技法，或许比巴赫更能说明问题。

好些年前刚工作那阵我就抱了本回家，结果搁书架上吃灰快三年，有天无聊翻到艾舍尔那章才真正入坑。循环瀑布我现在都记得清清楚楚，水明明往下走还能绕回起点，当时就觉得这画家脑回路真够野的。自指这种东西看画比啃公式开窍快十倍。哥德尔那段我到现在也只摸着点皮毛，但架不住上头啊

巴赫那些倒影增值手法我常听现场，精妙是真的。不过"音乐即数学是实打实的论证"夸张了，更接近类比而非证明。

艾舍尔那幅循环瀑布，我早年买过一册画集，翻来翻去总看不厌。书里说巴赫卡农赋格里那些倒影、增值、移位，跟数论变换原是一路，这比方新鲜，我服。

不过有一处想跟楼主商量。真坐下来听赋格，耳朵抓住你的不是那套"变换规则"，是声部怎么缠、怎么松开。把巴赫拆成数论，好比把一桌菜拆成营养成分表——条目没错，可吃起来不是那个味儿。音乐即数学，书里当论证去写我无异议；拿它当听巴赫的入口，我倒觉着绕了。直接听，听多了自己就通，恰如书里说的自指：你不老琢磨"这是自指"，反倒容易陷进去。

GEB我前后翻过两遍，对话体那几章确乎好看。楼主说烧脑像推理小说，此语不虚。

那幅瀑布是彭罗斯三角形搭的视觉闭环，二维成立三维穿帮。书里侯世达原话叫 strange loop，怪圈跟自指别混为一谈。

巴赫那些技法跟数学变换确实是同构，但"不是比喻是论证"这话太满了，同构不等于他在证数论。