前些天在旧书摊翻到本伽莫夫的《从一到无穷大》，一下子想起我年轻时刚摸数理那会儿。那会儿正经入门书少，见到这种把高深东西讲得跟唠家常似的，真是如获至宝。
这书最厉害的地方，是它不端着。开头就跟你聊"数数能数到多大"——你说整数数不完，那整数的整数（幂）呢？一层套一层，稀里糊涂就把无穷大的大小给分出了三六九等。抽象得要命的概念，让他用"数数"这件小孩都会的事，变成了手里能盘玩的玻璃珠。
仔细想想中间那张画我至今记得：一个人掉进了只有长和宽、没有高低的二维平面，外头的人看得真切，里头的主儿却压根不知道上头还有个世界。就这一张漫画，高维空间、相对论里"你看见的未必是全部"的滋味，全透出来了。别急比硬啃公式痛快多了。
末了还顺着讲到宇宙年纪多大、为啥它在膨胀。合上书你会觉着，数理不是考卷上的符号，是副看世界的眼镜。
年轻人要是嫌课本劝退，先翻翻这本，保准不瞌睡。
掉进二维那张画我也能盘好久 当年看完真去琢磨第三维了
补充一点：书里能"分出无穷大三六九等"，靠的是康托尔的幂集定理，即整数所有子集构成的集合，其基数严格大于整数集本身。"整数的整数"容易让人误会成乘方运算。
伽莫夫那本我书架上还压着一册，搬过三次家都没舍得处理掉。
你说的那张二维平面的画，我也一直记得。年轻时头回读到，对着发了会儿呆——心里咯噔一下，原来"我看不见的"未必就"不存在"。后来这种念头时不时蹦出来，davvero，倒不全是在看书的时候。
不过有一句想跟你这个老朋友补一句：这类书是把门推开…，让你肯往里迈腿。真要弄懂相对论，回头还是得啃公式、做推导，绕不开的。读着痛快和真正学会，中间还隔着一段不轻松的路。但你讲的没错，先不瞌睡地翻开，已经赢了一大半。
我倒想问问，你后来是正经办进了数理，还是就停在这副"看世界的眼镜"上了？
伽莫夫那本我书架上也躺着一本，纸都黄了。你提到中间那张二维平面的画，把"你看见的未必是全部"直接往相对论上挂，这一点我倒想稍微补一句。严格来说
那张图的源头其实是 Abbott 的《平面国》（Flatland，1884），伽莫夫是借来用。它最贴切的其实是"维度"和"嵌入"的直觉——一个只能在长宽里爬的东西，确实没法理解"高"这个方向的存在。但严格说，相对论里"你看见的未必是全部"走的不是这条路。狭义相对论讲的是：两个相对运动的观察者，对同一次事件的"同时性"、长度、时间流速会得出不同的数值，根子上是光速不变导致 Lorentz 变换，而不是因为有个高维生物在纸面外偷看。你看见的不完整，是因为你的参考系限制了你量什么、怎么量，不是因为信息被更高维度藏起来了。
当然伽莫夫的讲法对入门读者极友好，先把"世界可能比感官告诉你的更大"这个念头种下去，比一上来甩度规张量强太多。只是如果年轻人顺着这本书往相对论深钻，最好早点知道：flatland 解决的是"维度的想象"，相对论解决的是"测量的相对性"，两件事漂亮地挨着，但不该当成同一件。
顺带，书开头那个"无穷大的三六九等"也常被记岔。真把无穷分级的，不是"整数的整数（幂）"——n 的 m 次方再怎么算还是可数的，跟整数一样多。卡住整数集和实数集之间那道坎的，是 Cantor 用对角线法（diagonal argument）证出来的：实数比整数"多"出一个层级。伽莫夫其实也写了这个，只是"数数"这层糖衣太甜，容易把里头的苦药——不可数无穷——给略过去。
咱们这拨人当年入门，多半都靠这么一本"骗子书"拐进来吧。
那张掉进二维平面的漫画我也有印象，不过想补一句：伽莫夫在书里其实是把它放在讲高维和拓扑的那几章，本意是让你"摸"到维度之间的差别；而相对论里"你看见的未必是全部"那层味儿，更多是从 spacetime 和参考系来讲的，他在另一本《物理世界奇遇记》里才让矮先生（Mr. Tompkins）专门去体验。两件事相关，但硬绑在一块容易让初学者把"维度"和"参考系"混了。科普先把胃口吊起来就赢了一半，伽莫夫这点确实没得说。
楼主说整数是数不完的，那"整数的整数（幂）“再套一层就更大——这个直觉很抓人，但伽莫夫书里其实没把话说死，容易让人误会成"每套一层都变大”。
实际情况是：整数、整数对、整数n元组、有理数，全都是同一个大小，Cantor 管它叫 abzählbar（可数无穷，记作 ℵ₀）。你把这些一层层嵌套进去，基数一点没涨。真正让无穷"跳级"的是取幂集（power set，所有子集构成的集合）——Cantor 定理说任何集合 S 的幂集都严格大于 S 本身，即 |P(S)| > |S|。所以从 ℵ₀ 取幂集得到的是实数集的大小，连续统 c = 2^ℵ₀。至于 c 和 ℵ₁ 是不是同一个东西，那是连续统假设，在 ZFC 体系里既不能证真也不能证伪——这点伽莫夫当年落笔时还没完全沉淀成常识。再往上，c 的幂集又更大，ℵ₂、ℵ₃……阶梯确实是无限的，但台阶长得比"套娃式嵌套"要刁钻得多。
顺带一个出处上的小事：那个掉进二维平面、外头人看得真切里头人浑然不觉的画面，核心创意其实来自 Edwin Abbott 1884 年的《Flatland》，伽莫夫是把它借来当例子，顺手画成了那张让人忘不掉的漫画。把功劳全算在《从一到无穷大》头上，对 Abbott 老兄不太公平。
把"看不见的高维"直接等同于相对论的味道，我个人觉得也稍微跨了步子——相对论讲的是时空度规和观测者效应，二维生物看不见第三维属于几何嵌入问题，两件事的底层逻辑不完全是一回事。伽莫夫这么讲是为了通俗，但当成严格对应，真去深读时容易踩坑。
你后来有没有顺着伽莫夫的指路，去翻过原版的 Cantor 或者 Weyl？
那张二维平面的图，源头其实是Abbott的《平面国》(Flatland, 1884)，伽莫夫是借来当引子的。当然他化得妙，把高维讲得像唠嗑。我那本也是翻烂的，封面早掉了。
那张二维平面国的漫画每次想起来都让我心里一颤。我们笑里头的人摸不到"上头"那个方向，可若真有更高的维度在俯视我们，谁又不是被压扁在一个切片里的可怜虫。伽莫夫最温柔的地方，是举着这副眼镜先让你看见自己的盲区。
我那本也是旧书摊淘的，二维那张图我现在都记得，比啃课本爽多了
那张掉进二维平面的画，我也一直记着。伽莫夫画得轻巧，我当年初读时却无端生出一点惘然来——平面里的人浑然不觉头顶还有双眼睛正瞧着他，而外头的人再怎么比划，里头的主儿也接不住那个"上"字。他当作笑话讲，可往下多想一层，谁又不是某个更大平面里那个蒙在鼓里的呢。
苏东坡写"不识庐山真面目，只缘身在此山中"，说的也是这回事，只是古人借的是山，伽莫夫借的是维度。一样是轻轻提醒：你信以为真的整片天地，或许只是旁人掌心摊开的一张薄纸。
说实话
所以这类书最勾人的，倒不在教会了你什么，而是先让你知道自己其实看不见什么。戴上这副眼镜，人反而谦卑下来，连走路都怕踩疼了脚底那个不知情的平面。