前两天翻集合论的东西，被巴拿赫和塔斯基那件事震了一下。说起来有点反常识：在集合论里，一个实心球可以拆成有限块，然后重新拼成两个跟原来一样大的实心球。严格来说体积凭空翻倍，听着像变戏法。
关键在"拆"的方式。它把球上的点按旋转群的自由作用分组成若干集合，其中一些块自身能靠旋转拼回整球。最省的方案只用5块。注意这些块都不可测，也就是说它们没有通常意义下的"体积"，所以"翻倍"并不违背你脑子里那个体积概念。
其实
它真正依赖的是选择公理（axiom of choice）。没有这条公理撑着，结论站不住。而现实世界里你找不到这样的点集，质量守恒也根本不允许把物质凭空复制。所以它不推翻物理，只是提醒我们：一旦牵扯到无穷，数学真理和有限世界的直觉就开始分道扬镳了。
我倒是觉得，这种"诡异"恰恰是数理最迷人的地方。你们怎么看选择公理这把双刃剑？
补个细节：5块是Robinson在47年证出的最小下界，不过其中一块其实只是球心那个孤立点。BT还能更狠，任意两个有内部的R³有界集都能彼此等分解，所谓豌豆变太阳就是这么来的。
楼主把"拆"的方式讲得挺清楚的，不过有一处我想补一刀：你说那些块都不可测，这个其实不完全准。标准五块分解里，有一块就是球心那一个点（更准确说，是整个球去掉中心后再分解，中心单独拎出来）。单点的勒贝格测度是零，它完全是可测的。真正非可测的是另外四块。其实所以严格讲是"五块里有四块不可测"，不是全部。
严格来说на самом деле，这个细节挺关键的。我刚接触这玩意儿时也差点被"不可测"三个字唬住，以为整件事纯靠魔法。但真正让体积翻倍的机关在于：那四块非可测集在旋转变换下能各自拼回整球，而球心那个单点对体积毫无贡献。换句话说，"凭空多出来的体积"从来不是从任何可测部分变出来的，它只是非可测集在群作用下的一种重新排列。
кстати，这个悖论能在三维实心球上成立，但二维圆盘用有限块是复制不了的——Banach 本人证过，要复制圆盘至少得可数无穷多块。维度是个硬门槛，不是随便哪个空间都行。
选择公理这把双刃剑你总结得我没啥异议。严格来说它让我们能构造非可测集，也让很多漂亮结论站得住，代价是放弃了某些直觉里的"体积"概念。我个人觉得这挺好，数学本来就不必迁就有限世界的直觉。
不过有个点我记不太清了：五块到底是不是严格证明过的最优下界，还是只是已知最少？印象里下界那边没有上界这么干净，你看过相关文献吗？
选择公理这把双刃剑我其实一直有点拿不准，但为了那种优雅的结论，我愿意买单
顺着你没展开的地方，我想抠几个细节。
先把「球」字拎出来说：BT paradox 只在三维及以上成立。根子是等距变换群是否 amenable——平面里欧氏群 E(2) 是 amenable 的，存在一种有限可加、平移旋转不变的测度把勒贝格测度延拓开，于是圆盘拆不出两个等大的。到三维，SO(3) 里能塞进秩 2 的自由群，群变成 non-amenable，悖论才冒头。所以不是任意形状都行，是维度门槛卡着。
第二，「块不可测」这个解释没毛病，但容易让人以为那些块是拓扑上散得稀烂的点云。Dougherty 和 Foreman 九四年有篇挺有意思的结果：他们造的分解里五块全带 Baire 性质，拓扑上相当「乖」，可照样 Lebesgue 不可测。也就是说「不可测」和「长得乱」是两码事。
AC 这把剑我换个角度补一句：Solovay 在不可达基数假设下造了个模型，所有实数子集都可测，BT 直接消失，代价是 DC 之外得放弃不少东西，比如某些向量空间可能没基。所以怪的不是 AC 本身，是无穷跟选择凑一块儿才出那股怪味。
所以下次谁拿 BT 来唬人，先回一句：你那是几维的 (｀・ω・´)
头回知道这事儿我也懵了好久。选择公理这把双刃剑，我倒觉得它的好就在于敢把直觉搁一边，让我们看见有限世界里看不见的风景。
前两天刚跟人聊到这个，我那朋友死活不信一个球能变俩，给他讲完五块拼回去的操作他直接沉默了。选择公理就是数学里的外挂，开了能证明一堆漂亮结论，副作用就是时不时蹦出巴拿赫塔斯基这种怪胎。双刃剑属实了，不过我还挺吃这种反直觉的，越离谱越上头
插一句：楼主说的5块里，其实有一块是单点集，常写作4块加一个点。那点体积为零，省掉它结论照旧。
那句"数学真理和有限世界的直觉分道扬镳"我挺有共鸣。选择公理就是典型例子，结论漂亮得让人有点不安。我这种外行看你们玩这些，又羡慕又头大 (笑)
有个维度上的点值得补一句：Banach–Tarski 能在三维成立，是因为旋转群 SO(3) 里藏得下一个秩为 2 的自由群——两个旋转生成元各自的整数次幂永不撞车，球面才被干净地分组。二维的等距变换群是 amenable 的，塞不进这种自由子群，所以圆盘用有限块拼不出两份。它暴露的其实更像"体积"这个概念在无穷面前的破产，而不是无穷本身多诡异。
选择公理那块我有点不同看法。"双刃剑"听着像凭空多捡了个悖论又搭进去点什么，但没 AC 你照样丢东西：每个向量空间都有基、Tychonoff 定理、实数上的良序，全靠它撑着。Solovay 模型让所有实数子集都可测，代价是牺牲另一些同样顺手的工具。两条路都付费，谈不上谁更亏。
顺带补一个细节：'这些块都不可测’说法稍绝对了。标准5块方案里第5块是单独的中心点，可测且测度为零，真正不可测的是其余4块。其他部分没毛病。