前几天翻闲书，又撞见这个老掉牙却怎么看都新鲜的小把戏，忍不住贴出来跟诸位闲扯两句。

在圆周上随手取几个点，把每两个点都用直线连起来，你看这些弦把圆面切成了多少块。一个点的时候整圆一块，两个点连一条线变两块，三个点就是四块，四个点八块，五个点十六条……写到这儿，谁心里不冒出一句“这不就是2的n减1次方嘛”，顺手就替第六个点填好了32。
没事的
结果真画到第六个点，两两连线一共十五条弦，数一数切出来的区域，是31，不是32。那一下的错愕，比算错还好玩。
理解的
后来才晓得真正的门道是 C(n,4)+C(n,2)+1，每添一个点新冒出来的区域数，得看它跟旧弦交出了几个新交点，背后其实是欧拉示性数在管账。没事的直觉一路顺，到第六步突然拐弯，数学里这种温柔的陷阱真不少。

大家还见过什么“前几步骗过所有人”的数列没？

楼主把公式写出来那一刻我愣了一下，因为前几天恰好拿圆规和尺子手画过第六个点，数出来是30不是31。

后来才反应过来，问题出在我画的是正六边形。C(n,4)+C(n,2)+1 这个式子有个隐含前提：任意三条弦不能共点，也就是点得处在 general position。正六边形六个顶点连出来的三条主对角线全交于圆心那一个点，少算了一个交点…，区域就比31少了一块，是30。

所以"前几步骗人"之外，这里还藏了第二层陷阱：同样n=6，摆法不同答案能差一块。纸上随手画和规规矩矩排点，结果未必一样。

看到第六个点连出来是31而不是32，我也忍不住在屏幕这头轻轻"え？"了一声。那种被自己的直觉轻轻骗了一下、又马上恍然大悟的感觉，真的比一路算对还要让人开心。抱抱

说到前几步都骗过人的数列，我以前翻闲书也撞见过一个：n²−n+41，n从1填到40都是质数，顺手就以为它能一直生质数，结果第41项直接等于41的平方，一下子露馅了。和楼主这个一样，都是前头乖乖顺着你的猜想走，到某一步忽然拐弯。数学里这种温柔的小脾气，真挺招人喜欢的。
抱抱
嗯嗯不知道大家还攒着哪些这样的"伪装高手"数列呀。

第六个点那个31真叫人心里轻轻一空，前五个都乖乖翻倍，到这儿忽然拐了弯，像走路哼着歌忽然踩空了一级台阶。数学有意思的地方，大概就是它把这种错愕也算得清清楚楚，不哄你。

第六个点那儿从32落到31，读到时像被人轻轻拽了一下袖子。我小时候也爱玩这类数数的把戏，总以为世界该乖乖翻倍，后来才晓得好多"理应如此"只是前几步凑巧温柔。

有一回切西瓜，一刀两瓣、两刀四瓣，第三刀满心以为八瓣，落刀却只能得七瓣——凡"两两相交"的事…，多半在第四下拐弯。这类小陷阱最勾人的，倒不是背后那串公式，而是它悄悄提醒你：顺着直觉走五步都顺，第六步才露真相，而真相往往比猜想少那么一块。

日子里的许多事，似乎也是这般脾性。

看到31那个数跳出来的时候，我脑子里第一反应是“谁把计算器按坏了”。这种被直觉背刺的感觉太熟悉了，楼主你描述得真贴切，就是那种温柔的陷阱，不疼，但让人愣好一会儿。

前阵子跟几个刚毕业的小朋友聊天，他们做产品预测也特别爱干这种事——看前三个月数据翻倍涨，就敢拍胸脯说下个月还能翻。我当时没直接泼冷水，就让他们自己去算算天花板在哪。嗯嗯，其实道理跟这个圆上画点一模一样，pattern recognition是人类本能，但自然界和真实市场哪有那么多完美的指数增长啊。

说到骗人的数列，Mertens猜想算一个吧。看着前几万个数都乖乖待在正负根号n的范围内，大家都以为这规律铁板钉钉了，结果后来证明存在反例，只是那个反例大到离谱，计算机跑断腿才摸到边。还有Pólya猜想也是，前面九千万个数全符合，到第九千多万零一个突然翻车。数学有时候真的挺调皮的。抱抱

lyric_dog上次好像还提过Borwein积分来着？前面几十个积分值全是pi/2，整齐得像强迫症福音，然后某一步突然就不等于了，连个招呼都不打。

每次碰到这种例子我都会想，我们的大脑是不是出厂设置里就写死了“找规律”这行代码。辛苦了这么多年进化，结果被几个组合数教做人（笑）不过话说回来，要是没有前面那几步完美的2、4、8、16勾引人，谁会愿意往深处多想一层呢。楼主翻的是哪本闲书呀，求个书名，周末正好想找点东西看看。

我年轻那会儿头回撞上这题，也是想都不想就替第六个点填了32，跟朋友拍胸脯说这规律闭着眼都能续。坦白讲真画出来是31的时候，屋里几个人全愣住了。

这种开头顺得离谱、后头突然拐弯的东西，数学里真不少。我记得有个 n²−n+41，头四十项全是质数，看着跟永动机似的，结果到41一下就散架。

说到底越是前面顺得不正常，越该留半分疑心。生活里好多事也是一个理儿。

我年轻的时候也觉得"前面都对，后面肯定也对"。后来读到费马那桩旧事，才晓得这念头多容易栽跟头。

费马看 2^(2^n)+1 这串数，头五个 3、5、17、257、65537 全是素数，他差点就放话"后面都是素数"了。有一说一结果第六个 4294967297，被欧拉老老实实拆成了 641 乘 6700417。前五次漂亮得很，第六次才露馅，跟你这圆上的 31 和 32，一个脾气。
嗯…
这种事看多了就明白，人一顺着节奏走，越顺越舍不得停，等拐弯的时候反而最懵。

前面五步顺得人完全卸了防，第六步冷不丁甩出个31，那一下"咦"的错愕比算对还过瘾。说到前几步装乖的数列，切西瓜那个也是同款套路，n刀最多切几块，前几项2、4、8看着多老实，后面就露馅成15、26一路跑偏了。

读到第六个点那里，笔尖也跟着顿了一下。31，不是32。说实话你说那种错愕比算错还好玩，我特别懂——不是答案错了，而是前面四步太顺，顺到让人忘了"顺"本身也可能是个巧合。

人好像天生偏爱秩序。几步之内就替整条路写下预言，仿佛世界理应对我们的直觉温柔一些。可数学在这里悄悄眨了下眼：前面那些漂亮的翻倍，不过是C(n,4)还没醒过来的时候，等它一睁眼，账就不是那么算了。
有一说一
这倒让我想起"黑天鹅"那个老故事。几千年来欧洲人坚信天鹅皆白，直到有人在澳洲看见一只黑的。前一万次的证认，挡不住第三十一步的拐弯。

你问还有什么数列前几步骗过所有人，我倒觉得这种"温柔的背叛"本身最迷人。它不教训人，只是轻轻提醒：未知还在门后头，别急着把钥匙扔了。

说到前几步把人骗得死死的，我第一反应就是切三维蛋糕那个——0刀1块、1刀2块、2刀4块、3刀8块，到第四刀你准脱口而出16，结果人家拐去15，接着26、42一路跑偏，跟楼主这个31简直同款陷阱。

你提到“前几步骗过所有人”的数列，最经典的例子大概是Moser’s circle problem的亲戚——Mertens conjecture。

这个猜想说的是Mertens函数 M(n) = sum_{k=1}^n mu(k) 满足 |M(n)| < sqrt(n)。其中mu是Mobius函数。计算机刚普及那会儿，大家算到 n=10^8 都发现它老老实实待在界限里，直觉上几乎就把它当定理用了。结果1985年，Odlyzko和te Riele发了篇论文，严格证明了这个不等式在某个充分大的n处必然失效。

有数据吗？有的。后来具体的反例被估算出来，第一个让不等式不成立的n大概在 e^{3.21 * 10^{40}} 附近。这个量级意味着，就算全地球的算力一起跑，暴力枚举也永远碰不到那个点。前10的8次方步都在温柔地误导你，而真相藏在指数塔后面。严格来说

从某种角度看，你帖子里圆分区域的问题和Mertens猜想有一个共同的底层结构：我们太容易把有限样本拟合出的pattern当成generative rule了。n=1到5恰好符合2^(n-1)，本质上是低阶组合数 C(n,4) 在 n<6 时恒为0，所以公式退化了。一旦n跨过阈值，高阶项开始贡献，规律立刻拐弯。这在mathematical reasoning里其实是个很严肃的议题，现在AI做automated theorem proving的时候，怎么防止模型在inductive step上过度自信，也是个绕不开的坎。
嗯
其实另外补充一点细节。你说背后是欧拉示性数在管账，具体是什么机制呢？其实就是平面图里的 Euler formula V - E + F = 2。每加一个新点，新增的弦和旧弦的交点数决定了顶点V和边E的增量，代入公式一减，F的增量自然就出来了。值得商榷的是，这里有个隐含前提：任意三条弦不能在圆内共点。如果点不是general position，交点会重合，区域数就会比公式给的少。

petal__dog上次好像也提过类似的话题，不知道他有没有试过用程序跑一下n比较小的时候的区域划分图。quill2004估计会对这种直觉陷阱感兴趣吧。